Matematica discreta Esempi

$x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 60, \pm 2, \pm 30, \pm 3, \pm 20, \pm 4, \pm 15, \pm 5, \pm 12, \pm 6, \pm 10$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci $3$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $3$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci $3$ nel polinomio.

$3^{3} + 6 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 60$

Passaggio 1.1.3.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 + 6 \cdot 3^{2} - 7 \cdot 3 - 60$

Passaggio 1.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$27 + 6 \cdot 9 - 7 \cdot 3 - 60$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $6$ per $9$ .

$27 + 54 - 7 \cdot 3 - 60$

Passaggio 1.1.3.5

Somma $27$ e $54$ .

$81 - 7 \cdot 3 - 60$

Passaggio 1.1.3.6

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$81 - 21 - 60$

Passaggio 1.1.3.7

Sottrai $21$ da $81$ .

$60 - 60$

Passaggio 1.1.3.8

Sottrai $60$ da $60$ .

$0$

Passaggio 1.1.4

Poiché $3$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 3$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60}{x - 3}$

Passaggio 1.1.5

Dividi $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ per $x - 3$ .

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Passaggio 1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$3$

$x^{3}$

$6 x^{2}$

$7 x$

$60$

Passaggio 1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$

Passaggio 1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			+	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$

Passaggio 1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$

Passaggio 1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					+	$9 x^{2}$	-	$27 x$

Passaggio 1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{2} - 27 x$

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$

Passaggio 1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$

Passaggio 1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$9 x$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Passaggio 1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $20 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$

Passaggio 1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							+	$20 x$	-	$60$

Passaggio 1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $20 x - 60$

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$

Passaggio 1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$9 x$	+	$20$
$x$	-	$3$		$x^{3}$	+	$6 x^{2}$	-	$7 x$	-	$60$
			-	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					+	$9 x^{2}$	-	$7 x$
					-	$9 x^{2}$	+	$27 x$
							+	$20 x$	-	$60$
							-	$20 x$	+	$60$
										$0$

Passaggio 1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + 9 x + 20$

Passaggio 1.1.6

Scrivi $x^{3} + 6 x^{2} - 7 x - 60$ come insieme di fattori.

$(x - 3) (x^{2} + 9 x + 20) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $x^{2} + 9 x + 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Scomponi $x^{2} + 9 x + 20$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $20$ e la cui somma è $9$ .

$4, 5$

Passaggio 1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 3) ((x + 4) (x + 5)) = 0$

Passaggio 1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (x + 4) (x + 5) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 3

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 4

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 4) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 3, - 4, - 5$

Passaggio 7